今回取り扱う問題は山口大学で出題された問題です。
格子点（$x\,$座標、$y\,$座標共に整数である点）を通る直線について考えさせられるような問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
原点を通る2直線$\,l,\,m\,$がそれぞれ原点以外にも格子点を通るとき、$l,\,m\,$のなす角は、$60^\circ$にならないことを証明せよ。
ただし、$\sqrt{3}\,$が無理数であることを証明なしに用いても良い。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
まず、問題文が「$60^\circ$にならないことを証明せよ。」という否定の命題なので背理法を用いて証明していくのが証明しやすいです。
（※～でないという証明は背理法で解けることが多いです。）
命題Aを証明するために、命題Aが成り立たないと仮定し矛盾を導くことで、命題Aが成り立つことを証明する方法。
さらに、格子点を通ることから、直線の傾きは有理数であることが分かります。
（傾きは$\dfrac{yの増加量(整数)}{xの増加量(整数)}$）
解答・解説
考え方・ポイントを踏まえたうえで、本問題の解答です。
解答
直線$\,l,\,m\,$のなす角は、$60^\circ$であると仮定する。
$l,\,m\,$の$\,x\,$軸の正方向となす角をそれぞれ$\theta_1(-90^\circ < \theta_1 <90^\circ),$ $\theta_2(-90^\circ < \theta_2 <90^\circ),$とおく。
直線$\,l,\,m\,$の傾きを$\, a,\, b\,$とおくと、
$a=\tan\theta_1$
$b=\tan\theta_2\,$となる。
また、直線$\,l,\,m\,$は原点と格子点を通ることから、$a,\, b\,$は共に有理数である。$\cdots$①
直線$\,l,\,m\,$のなす角は、$60^\circ$より、
$60^\circ = |\theta_2 – \theta_1 |$
$\Leftrightarrow \tan 60^\circ = |\tan (\theta_2 – \theta_1 )|$
$\therefore \,$ $\sqrt{3}=\left| \dfrac{b-a}{1+ab}\right |$
左辺は無理数、右辺は有理数なので矛盾。$(\because \,$①より$)$
また、直線$\,l,\,m\,$のどちらかが$\, x\,$軸に垂直の場合、もう一方の直線の傾きを求めると、
$\tan (90^\circ \pm 60^\circ) = \mp \dfrac{\sqrt{3}}{3} $と無理数であるので、矛盾。
$\therefore \,$題意は示された。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は山口大学の入試問題を解説しました。
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