今回取り扱う問題は大阪大学の問題です。
微分の頻出の問題で、きっちりと理解しておきたいような問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
点$(0,\,1)$を通り曲線$y=x^3-ax^2$に接する直線がちょうど2本存在するとは、言い換えるとどのようなことが言えればいいかを考えてみましょう。
接点$P(t,\, t^3-at^2)$における接線の方程式を考えます。
$y’=3x^2-2ax$ であるので、$点P$における接線の方程式は，
$y-(t^3-at^2)=(3t^2-2at)(x-t)$
これが、点$(0, \, 1)$を通るとき，
$1-(t^3-at^2)=(3t^2-2at)(0-t)$
$\Leftrightarrow$ $2t^3-at^2+1=0 \cdots ①$
$t\,$とは，接点$P$の$x$座標でした。
つまり，$t$の個数だけ接点が存在する、つまり$t$の個数だけ接線が存在するということになります。
今回の問題でいうと，①が異なる2つの実数解を持てばよいということでした。
では、①が異なる2つの実数解を持つときとはどんなときなのでしょうか。
①が異なる2つの実数解をもつときとは、3次関数のグラフの形を考えてもらえばすぐ分かりますが，極値を持ち、なおかつ極大値または極小値の値が0になればよいです。
解答・解説
解答
$y’=3x^2-2ax$
接点$P(t,\, t^3-at^2)$とすると，$P$における接線の方程式は，
$y-(t^3-at^2)=(3t^2-2at)(x-t)$
点$(0,\, 1)$を通るので，
$1-(t^3-at^2)=(3t^2-2at)(0-t)$
$\Leftrightarrow$ $1-t^3+at^2=-3t^3+2at^2$
$\Leftrightarrow$ $2t^3-at^2+1=0 \cdots ①$
$\therefore \,$①が異なる2つの実数解を持てばよい。$\cdots ②$
$f(t)=2t^3-at^2+1$とおくと，
$f'(t)=6t^2-2at$
$=2t(3t-a)$
$f'(t)=0$のとき，$t=0,\frac{a}{3}$
②より，$f(t)=2t^3-at^2+1$は極値を持つので，$a\neq 0$
また，$f(0)=1$であるから，$f(\frac{a}{3})=0$になればよい。$(\because \,$②より$)$
$\therefore \,$ $\frac{2}{27}a^3-\frac{a^3}{9}+1=0$
$\Leftrightarrow$ $a^3=27$
$\therefore \,$ $a=3$ $(\because \,aは実数)$
このときの$t$について求めると，①より
$2t^3-3t^2+1=0$
$(t-1)^2(2t+1)=0$
$\therefore \,t=1,\, -\frac{1}{2}$
(ⅰ)$t=1$のとき，
接点は$(1,\, 2)$，接線の傾きは$-3$であるから求める接線の方程式は，
$y-(-2)=-3(x-1)$
$\Leftrightarrow$ $y=-3x+1$
(ⅰ)$t=-\frac{1}{2}$のとき，
接点は$(-\frac{1}{2},\, -\frac{7}{8})$，接線の傾きは$\frac{15}{4}$であるから求める接線の方程式は，
$y-(-\frac{7}{8})=\frac{15}{4}(x+\frac{1}{2})$
$\Leftrightarrow$ $y=\frac{15}{4}+1$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は大阪大学の微分の問題を解説しました。
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今回は以上です。
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