漸化式の典型パターンの問題！2023年京都大学文系問4 解答・解説

今回取り扱う問題は2023年京都大学の問題です。

漸化式はパターンです。パターンをしっかり頭に入れておけば解けます。

今回の京大の問題も漸化式の典型的なパターンの問題なので、しっかり解けるようになっておきたいです。

勉強おすすめアイテム

静かさとリラックスのために、Loop Quiet。安眠、聴覚過敏の緩和、機内用に。フレキシブルなソフトシリコン製で、繰り返し使える聴覚プロテクション。8個 (XS・S・M・Lサイズ x 各1セット)のイヤチップ。ノイズ低減 (SNR): 26dB – ミント

created by Rinker

¥5,058 (2025/04/04 07:49:20時点楽天市場調べ-詳細)

【送料無料】　【正規品】 TIME TIMER MOD Home Edition 9cm 60分タイムタイマーモッドシルクオレンジ TTM9-HDO-W 時間管理

created by Rinker

¥3,801 (2025/04/04 07:49:20時点楽天市場調べ-詳細)

タイムロッキングコンテナタイムロックボックスセルフコントロールボックス大きいゲーム機等受験対策禁欲ボックススマホ依存タイムロックコンテナスマホ依存症対策禁煙現代病対策ロッ大容量禁欲タイムロックボックススマホ

それではさっそくやっていきましょう。

問題文
動画で解説を見たい方へ
本問題を解く上での考え方・ポイント
解答・解説
さいごに

問題文

数列$\,\{a_n\}\,$は次の条件を満たしている。
$$a_1=3,\,a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n\,(n=2,3,4,\cdots )$$
ただし、$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\,$である。このとき、数列$\,\{a_n\}\,$の一般項を求めよ。

これから先は解説になります。

自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。

動画で解説を見たい方へ

YouTubeでも本問題を解説しています。

動画での解説は下記より確認できます。

YouTubeでも数学・算数の良問や難問を解説しています。

良かったらチャンネル登録お願いします。チャンネル登録はこちら

本問題を解く上での考え方・ポイント

本問題は漸化式の中に$\, S_n\,$を含んでいます。

$n\,$項までの和を表した$\, S_n\,$を含んでいるような漸化式は以下を使うのが定石です。

$a_1=S_1$
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$

これを使っていきたいので、まず$\, a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n\,$を整理して、$S_n=\,$の形に変形しましょう。

$S_n\,$を$\, a_n\,$の形で表すことができたら、$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$を使って、$a_{n+1}\,$を求めていきます。

そうすると、$a_{n+1}=a_n+(n+3)\cdot 2^n\,$という式を得ることができます。

これも典型的な漸化式の形です。$a_{n+1}=a_n+f(n)\, (n\,$を含んだ式$)$の形で、階差数列型の漸化式です。

$a_{n+1}-a_n=(n+3)\cdot 2^n\,$であるので、$n\geqq 2\,$において、
$a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $
と表すことができます。

あとは、$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $を求めるだけです。
(等差数列)×(等比数列)の和なので、公比をかけて引き算するよく見るやつです。

解答・解説

考え方やポイントを踏まえたところで、本問題の解答です。

解答

$n\geqq 2\,$において、
$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow S_n=na_n-n(n-1)\cdot 2^n$ $\cdots$①

①の右辺に$\, n=1\,$を代入すると$\, a_1\,$となる。
$a_1=S_1\,$であるから、①は$\, n=1\,$のときも成り立つ。

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\,$であるから、
$a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-(n+1)n\cdot 2^{n+1}-na_n+n(n-1)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow na_{n+1}=na_n+n(n+3)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+(n+3)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=(n+3)\cdot 2^n$

$\therefore \, n\geqq 2\,$において、
$a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $ $\cdots$②

$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k\,$とおく。

$T_n=4\cdot 2^1+5\cdot 2^2+\cdots +(n+2)\cdot 2^{n-1}$ $\cdots$③
$2T_n=\qquad +4\cdot 2^2+\cdots +(n+1)\cdot 2^{n-1}+(n+2)\cdot 2^n$ $\cdots$④

③-④より、
$-T_n=8+(2^2+\cdots +2^{n-1})-(n+2)\cdot 2^n$
$\qquad = 8+\dfrac{4\cdot (2^{n-2}-1)}{2-1}-(n+2)\cdot 2^n$

$\therefore \,$ $T_n=(n+1)\cdot 2^n-4$

②に代入して、
$\therefore \,$ $a_n=3+\{(n+1)\cdot 2^n -4\}$
$\qquad =(n+1)\cdot 2^n -1$ $(n\geqq 2)$ $\cdots$⑤

⑤に$\,n=1$を代入すると、
$a_1=2\cdot 2^1 -1=3\,$であるので⑤は$\, n=1\,$のときも成り立つ。

$\therefore \,$ $a_n=(n+1)\cdot 2^n -1$

受験勉強・予習復習にはスタサプ