漸化式の典型パターンの問題！2023年京都大学文系問4 解答・解説

今回取り扱う問題は2023年京都大学の問題です。

漸化式はパターンです。パターンをしっかり頭に入れておけば解けます。

今回の京大の問題も漸化式の典型的なパターンの問題なので、しっかり解けるようになっておきたいです。

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それではさっそくやっていきましょう。

問題文
動画で解説を見たい方へ
本問題を解く上での考え方・ポイント
解答・解説
さいごに

問題文

数列$\,\{a_n\}\,$は次の条件を満たしている。
$$a_1=3,\,a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n\,(n=2,3,4,\cdots )$$
ただし、$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\,$である。このとき、数列$\,\{a_n\}\,$の一般項を求めよ。

これから先は解説になります。

自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。

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本問題を解く上での考え方・ポイント

本問題は漸化式の中に$\, S_n\,$を含んでいます。

$n\,$項までの和を表した$\, S_n\,$を含んでいるような漸化式は以下を使うのが定石です。

$a_1=S_1$
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$

これを使っていきたいので、まず$\, a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n\,$を整理して、$S_n=\,$の形に変形しましょう。

$S_n\,$を$\, a_n\,$の形で表すことができたら、$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$を使って、$a_{n+1}\,$を求めていきます。

そうすると、$a_{n+1}=a_n+(n+3)\cdot 2^n\,$という式を得ることができます。

これも典型的な漸化式の形です。$a_{n+1}=a_n+f(n)\, (n\,$を含んだ式$)$の形で、階差数列型の漸化式です。

$a_{n+1}-a_n=(n+3)\cdot 2^n\,$であるので、$n\geqq 2\,$において、
$a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $
と表すことができます。

あとは、$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $を求めるだけです。
(等差数列)×(等比数列)の和なので、公比をかけて引き算するよく見るやつです。

解答・解説

考え方やポイントを踏まえたところで、本問題の解答です。

解答

$n\geqq 2\,$において、
$a_n=\dfrac{S_n}{n}+(n-1)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow S_n=na_n-n(n-1)\cdot 2^n$ $\cdots$①

①の右辺に$\, n=1\,$を代入すると$\, a_1\,$となる。
$a_1=S_1\,$であるから、①は$\, n=1\,$のときも成り立つ。

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\,$であるから、
$a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-(n+1)n\cdot 2^{n+1}-na_n+n(n-1)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow na_{n+1}=na_n+n(n+3)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow a_{n+1}=a_n+(n+3)\cdot 2^n$
$\Leftrightarrow a_{n+1}-a_n=(n+3)\cdot 2^n$

$\therefore \, n\geqq 2\,$において、
$a_n=a_1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k $ $\cdots$②

$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+3)\cdot 2^k\,$とおく。

$T_n=4\cdot 2^1+5\cdot 2^2+\cdots +(n+2)\cdot 2^{n-1}$ $\cdots$③
$2T_n=\qquad +4\cdot 2^2+\cdots +(n+1)\cdot 2^{n-1}+(n+2)\cdot 2^n$ $\cdots$④

③-④より、
$-T_n=8+(2^2+\cdots +2^{n-1})-(n+2)\cdot 2^n$
$\qquad = 8+\dfrac{4\cdot (2^{n-2}-1)}{2-1}-(n+2)\cdot 2^n$

$\therefore \,$ $T_n=(n+1)\cdot 2^n-4$

②に代入して、
$\therefore \,$ $a_n=3+\{(n+1)\cdot 2^n -4\}$
$\qquad =(n+1)\cdot 2^n -1$ $(n\geqq 2)$ $\cdots$⑤

⑤に$\,n=1$を代入すると、
$a_1=2\cdot 2^1 -1=3\,$であるので⑤は$\, n=1\,$のときも成り立つ。

$\therefore \,$ $a_n=(n+1)\cdot 2^n -1$

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