【良問】頻出の数2の微分！2023年大阪大学文系前期問２解答・解説

今回取り扱う問題は2023年大阪大学文系で出題された微分の問題です。

変数の値によって、グラフの形が変わるといった頻出の問題です。しっかりと理解して解けるようになっておきたい問題です。

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問題文
動画で解説を見たい方へ
本問題を解く上での考え方・ポイント
解答・解説
1. (1)解答
2. (2)解答
さいごに

問題文

正の実数

a, x

に対して，

y = (\log_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (\log_{\sqrt{2}} x) (\log_{4} x^{3})

とする。
(1)

t = \log_{2} x

とするとき，

y

を

a, t

を用いて表せ。
(2)

x

が

\frac{1}{2} ≦ x ≦ 8

の範囲を動くとき，

y

の最大値

M

を

a

を用いて表せ。

これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。

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本問題を解く上での考え方・ポイント

(1)の誘導がありますが、この誘導がなくても取りたい問題です。

まず $y = (\log_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (\log_{\sqrt{2}} x) (\log_{4} x^{3})$ を見た瞬間に、底が $\frac{1}{2}$ や $\sqrt{2}$ や $4$ という点から、底を $2$ で統一して扱いやすくしましょう。

そして、この関数の最大値を考えていくのですが、 $\log_{2} x$ を $t$ と置くことで $t$ の3次関数として見ることができます。

3次関数の最大値を考えるということで、微分して増減表を考えていきましょう。

微分すると、極値を取る $t$ の値が $0, 2 a$ ということが分かります。

今回の問題では $a$ は正の実数としか言われていないので、この $2 a$ の取る値に注意しながら増減表を考える必要があります。

解答・解説

(1)解答

$y = (\log_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (\log_{\sqrt{2}} x) (\log_{4} x^{3})$
$= (\frac{\log_{2} x}{\log_{2} \frac{1}{2}})^{3} + a (\frac{\log_{2} x}{\log_{2} \sqrt{2}}) (\frac{\log_{2} x^{3}}{\log_{2} 4})$
$= (- \log_{2} x)^{3} + a (\frac{\log_{2} x}{\frac{1}{2}}) (\frac{3 \log_{2} x}{2})$
$= - t^{3} + 3 a t^{2}$