今回取り扱う問題は2001年京都大学の問題です。
うまく式変形することで、平方数の和の形を作れるのでそこから取り得る整数が見えてきます。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$を見て，思うことはありませんでしょうか。
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz$の部分を見て、
「$(x+y+z)^2$を展開したような形に似ているな」
と気づければ、あとは式変形して取りうる値を考えるだけで解くことができました。
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$
$\Leftrightarrow$ $(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz)+y^2+z^2=5$
このように$2y^2 + 2z^2$を$y^2+y^2+z^2+z^2$と分けて見ると、上の式の括弧内が因数分解することができますよね。
そうすると、平方数＋平方数＋平方数が5になるという形になるので、それぞれの取りうる値を絞ることができます。
解答・解説
解答
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$
$\Leftrightarrow$ $(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz)+y^2+z^2=5$
$\Leftrightarrow$ $(y+z-x)^2+y^2+z^2=5$
$x,y,z$は正の整数より，$(y+z-x)^2$は0以上の整数。
$y\geqq 1, \, z\geqq 1 $より，$(y^2,z^2)=(1^2,2^2),\,(2^2,1^2)$のみとなる。
(ⅰ)$(y^2,z^2)=(1^2,2^2)$のとき，
$(y+z-x)^2=0$に代入して，$x=3$
(ⅱ)$(y^2,z^2)=(2^2,1^2)$のとき，
$(y+z-x)^2=0$に代入して，$x=3$
$\therefore \,$求める$(x,y,z)$の組は，
$(x,y,z)=(3,1,2),\,(3,2,1)$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2001年京都大学の問題を解説しました。
平方数が絡むような整数問題は頻出です。
因数分解して２乗の形を作れそうなら作ってみて、そこからどのようなことが言えるかを考えてみるというはよく見るパターンです。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。
今回は以上です。
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