今回取り扱う問題は2023年大阪大学文系で出題された微分の問題です。
変数の値によって、グラフの形が変わるといった頻出の問題です。しっかりと理解して解けるようになっておきたい問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
$y=\big(\log_{\frac{1}{2}}x\big)^3+a\big(\log_{\sqrt{2}}x\big)\big(\log_{4}x^3\big)$
とする。
(1) $t=\log_{2}x\,$とするとき，$y\,$を$\,a,\,t\,$を用いて表せ。
(2) $x\,$が$\,\dfrac{1}{2}\leqq x \leqq 8\,$の範囲を動くとき，$y\,$の最大値$\,M\,$を$\,a\,$を用いて表せ。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
(1)の誘導がありますが、この誘導がなくても取りたい問題です。
まず$y=\big(\log_{\frac{1}{2}}x\big)^3+a\big(\log_{\sqrt{2}}x\big)\big(\log_{4}x^3\big)$を見た瞬間に、底が$\dfrac{1}{2}$や$\sqrt{2}$や$4$という点から、底を$2$で統一して扱いやすくしましょう。
そして、この関数の最大値を考えていくのですが、$\log_{2}x$を$t$と置くことで$t$の3次関数として見ることができます。
3次関数の最大値を考えるということで、微分して増減表を考えていきましょう。
微分すると、極値を取る$\,t\,$の値が$\,0,\,2a\,$ということが分かります。
今回の問題では$\,a\,$は正の実数としか言われていないので、この$\,2a\,$の取る値に注意しながら増減表を考える必要があります。
解答・解説
(1)解答
$y=\big(\log_{\frac{1}{2}}x\big)^3+a\big(\log_{\sqrt{2}}x\big)\big(\log_{4}x^3\big)$
$=\bigg(\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}\frac{1}{2}}\bigg)^3+a\bigg(\dfrac{\log_{2}x}{\log_{2}\sqrt{2}}\bigg)\bigg(\dfrac{\log_{2}x^3}{\log_{2}4}\bigg)$
$=\big(-\log_2 x)^3+a\bigg(\dfrac{\log_{2}x}{\frac{1}{2}}\bigg)\bigg(\dfrac{3\log_{2}x}{2}\bigg)$
$=-t^3+3at^2$
(2)解答
$f(t)=-t^3+3at^2$とおく。
$\dfrac{1}{2}\leqq x \leqq 8$であるから，$\log_2 \dfrac{1}{2}\leqq \log_2 x \leqq \log_2 8$
$\therefore \, -1\leqq t \leqq 3$
$f'(t)=-3t^2+6at$
$=-3t(t-2a)$
$\therefore \, f'(t)=0$のとき，$t=0,\,2a$
(ⅰ)$0<2a<3\,$すなわち$\,0<a<\dfrac{3}{2}$のとき
増減表は下記。
| $t$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $2a$ | $\cdots$ | $3$ |
| $f'(t)$ | ／ | $-$ | $0$ | $+$ | 0 | $-$ | ／ |
| $f(t)$ | $3a+1$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $4a^3$ | $\searrow$ | $27a-27$ |
$\therefore \,$最大値となりえるのは$3a+1,\,4a^3$
$4a^3-(3a+1)$
$=(a-1)(4a^2+4a+1)$
$=(a-1)(2a+1)^2$
$(2a+1)^2>0$であるから、求める最大値$\,M\,$は，
$0<a<1$のとき，$M=f(-1)=3a+1$
$1\leqq a<\dfrac{3}{2}$のとき，$M=f(2a)=4a^3$
(ⅱ)$2a\geqq 3\,$すなわち$\,a\geqq \dfrac{3}{2}$のとき
増減表は下記。
| $t$ | $-1$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $3$ |
| $f'(t)$ | ／ | $-$ | $0$ | $+$ | ／ |
| $f(t)$ | $3a+1$ | $\searrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $27a-27$ |
$\therefore \,$最大値となりえるのは$3a+1,\,27a-27$
$(27a-27)-(3a+1)$
$=24a-28$
$\geqq 24\cdot \frac{3}{2} -28$
$=8>0$
$\therefore \,$求める最大値$\,M\,$は，
$M=f(3)=27a-27$
(ⅰ)(ⅱ)より求める$\,M\,$は，
$3a+1\,(0<a<1のとき)$
$4a^3\,(1\leqq a <\dfrac{3}{2}のとき)$
$27a-27\,(a\geqq \dfrac{3}{2}のとき)$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2023年大阪大学文系で出題された微分の問題を解説しました。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。
今回は以上です。
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