差がつく！三角方程式が解をもつための条件！2023年大阪大学文系大問１の解答・解説

今回取り扱う問題は2023年大阪大学で出題された三角方程式の問題です。

 

三角関数の問題というよりかは、二次方程式が解が持つための条件の問題のウェイトが大きい問題です。

二次方程式の解の配置問題で、一番難易度が高い「少なくとも一つの実数解をもつ」条件を考えていくことになります。

 

 

それではさっそくやっていきましょう。

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問題文

これから先は解説になります。

自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。

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本問題を解く上での考え方・ポイント

まず、$\cos 2\theta$を倍角の公式で変形することで$\sin\theta$だけの式にすることができます。

1. 判別式
2. 軸
3. 端の値

そこで、今回範囲の中で少なくとも一つの解をもつときを考えるので、以下の二つの場合に分けて考えていきます。

1. 範囲内で2つの実数解をもつとき（ただし、重解を持つときも含む）
2. 範囲内で1つの実数解をもつとき

解答・解説

解答

$\cos 2\theta=a\sin\theta +b$
$\Leftrightarrow 1-2\sin ^2\theta = a\sin\theta +b$
$\Leftrightarrow 2\sin ^2\theta +a\sin\theta +(b-1)=0$

$\sin\theta=t\,(-1\leqq t\leqq 1)\,$とおくと、
$2t^2+at+(b-1)=0\,\cdots ①$

①が$-1\leqq t\leqq 1$の範囲で実数解をもつ$\,(a,\,b)\,$の条件を考えればよい。

$f(t)=2t^2+at+(b-1)\,$とおく。

$f(t)=2t^2+at+(b-1)\,$
$\,\,\,\,=2(t+\dfrac{a}{4})^2-\dfrac{a^2}{8}+b-1$

 

以下、$y=f(t)\,$の判別式を$\,D\,$とする。

 

(ⅰ)$\,-1\leqq t\leqq 1\,$で2つの実数解をもつとき(重解含む)

$D\geqq 0$より、
$a^2-8b+8\geqq 0$
$\Leftrightarrow b \leqq\dfrac{1}{8}a^2+1$

軸について考えると、
$-1\leqq -\dfrac{a}{4}\leqq 1$
$\Leftrightarrow -4\leqq a \leqq 4$

端の値について考えると、
$f(1)\geqq 0,\, f(-1)\geqq 0$より
$b\geqq -a-1,\,b\geqq a-1$

 

（ⅱ)$f(1)f(-1)\leqq 0$のとき、

$\begin{cases} f(-1)\geqq 0\\ f(1)\leqq 0 \end{cases}$ または、$\begin{cases} f(-1)\leqq 0\\ f(1)\geqq 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} b\geqq a-1\\ b\leqq -a-1 \end{cases}$ または、$\Leftrightarrow \begin{cases} b\leqq a-1\\ b\geqq -a-1 \end{cases}$

 

(ⅰ)(ⅱ)より、求める$\,(a,\,b)\,$の存在範囲は下記。

さいごに

いかがでしたでしょうか。

 

今回は2023年大阪大学の問題を解説しました。

 

二次方程式の解の配置問題は高校一年生で習いますが、地味に差がつきやすい分野です。しっかりと理解して満点を取れるようになっておきましょう。

 

 

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今回は以上です。