今回取り扱う問題は2023年慶応義塾大学の問題です。
整数問題の基礎的な問題なので、絶対に落としたくないような問題です。整数問題が苦手な方はぜひ最後までご覧ください。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
ただし，$a,\,b,\,c\,$はそれぞれ$\,2\,$以上の整数とする。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
さて、今回の問題は整数問題なわけですが、整数問題を解く上で、9割以上は下記の解き方で解くことができます。
②条件から範囲を絞る
③倍数や余りに注目する
解答・解説
解答
$6a^3bc+11a^2b^2c+3ab^3c=6270$
$\Leftrightarrow$ $abc(6a^2+11ab+3b^2)=6270$
$\Leftrightarrow$ $abc(2a+3b)(3a+b)=6270$
また、$6270=2\times 3\times 5\times 11\times 19$
$a,\,b,\,c\,$は$\,2\,$以上の整数であるから、
$\{a,\,b,\,c,\,2a+3b,\,3a+b\}=\{2,\,3,\,5,\,11,\,19\,\}$
また,$2a+3b\,$と$\,3a+b\,$の取り得る値の範囲に着目すると,
$2a+3b\geqq 2\cdot2+3\cdot 2 = 10$
$3a+b\geqq 3\cdot 2 + 2 = 8$
$\therefore \,$ $(2a+3b,\,3a+b)=(11,\,19),\,(19,\,11)$に限られる。
(ⅰ)$2a+3b=11,\,3a+b=19\,$のとき
$a=\dfrac{46}{7}\,$となり、整数ではないので不適。
(ⅱ)$2a+3b=19,\,3a+b=11\,$のとき
$a=2,\,b=5$
以上より、求める$\,(a,\,b,\,c)\,$は,
$\,(a,\,b,\,c)=(2,\,5,\,3)$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2023年慶応義塾大学の整数問題を解説しました。
数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。
今回は以上です。
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