2022年京都大学理系大問1の対数の問題を解説

今回取り扱う問題は2022年京都大学の問題です。

 

対数の値をどのように評価するかがポイントとなるような問題です。

 

 

それではさっそくやっていきましょう。

勉強おすすめアイテム

問題文

これから先は解説になります。

自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。

動画で解説を見たい方へ

YouTubeでも本問題を解説しています。

動画での解説は下記より確認できます。

 

 

YouTubeでも数学・算数の良問や難問を解説しています。
良かったらチャンネル登録お願いします。 チャンネル登録はこちら

本問題を解く上での考え方・ポイント

$5.4<\log_4 2022<5.5$を証明したいので、
$〇<2022<★$というように$2022$を不等式評価して、各辺$\log_4$を取って証明していきます。

 

では、どのような値で挟み込むかを考えていきます。

 

今回、$\log_{10} 2$が与えられているので，
$2,5,10$などを因数に持つ数字で$2022$に近い値で挟み込むことで証明できそうです。

「$\log_{10}5\,$って計算できなくないですか？」
と思われる方もいらっしゃるかもしれませんが、$\log_{10}2\,$を用いて$\log_{10}5\,$を表すことは下記のように可能です。

$\log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-\log_{10}2$

 

では、ある程度方針が決まったところで実際にどのような数字で挟み込むか考えます。

$2000 = 2 \cdot 10^3$
$2048 = 2^{11}$

なので、$2000$と$2048$で挟み込んでみましょう。

 

それでも$5.4<\log_4 2022<5.5$を証明できなければ、より厳しい範囲で値を探すことになります。

解答・解説

解説

上記で解説したように、$2000<2022<2048$と$2022$を挟んであげて、各辺$\log_4$を取ってどのような値になるか計算していきます。

 

実際に計算してみると、下記のようになります。

$\log_4 2048 $$= \frac{\log_2 2048}{\log_2 4}$
$=\frac{\log_2 2^{11}}{\log_2 2^2}$
$=\frac{11}{2}$
$=5.5$

$\log_4 2000 $$=\frac{\log_{10}2\times 10^3}{\log_{10}4}$
$=\frac{3+\log_{10}2}{2\log_{10}2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2\log_{10}2}$

ここで$\log_4 2000 $$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2\log_{10}2}$について考えます。

$5.4<\log_4 2022$を示したいので、$\log_4 2000 $が$5.4$より大きいことを言えれば、$5.4<\log_4 2000<\log_4 2022$と言えるので、$\log_4 2000$がどのような値より大きいかを考えることに注意しながら解いていきます。

解答

$2000<2022<2048$より、
$\log_4 2000<\log_4 2022<\log_4 2048$

まず、$\log_4 2048$について考える。

$\log_4 2048 $$= \frac{\log_2 2048}{\log_2 4}$
$=\frac{\log_2 2^{11}}{\log_2 2^2}$
$=\frac{11}{2}$
$=5.5$

$\therefore \, \log_4 2022<5.5$

次に、$\log_4 2000$について考える。

$\log_4 2000 $$=\frac{\log_{10}2\times 10^3}{\log_{10}4}$
$=\frac{3+\log_{10}2}{2\log_{10}2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2\log_{10}2}$
$>\frac{1}{2}+\frac{3}{2\times 0.3011}$
$>5.4$

$\therefore \, \log_4 2022 > \log_4 2000 > 5.4$

以上より，題意は示された。

さいごに

いかがでしたでしょうか。

 

今回は2022年京都大学の問題を解説しました。

 

対数の値を自分で評価する問題は結構出ます。どのような値で挟み込んであげるか自分で考える必要があります。

 

いろいろな問題に触れて練習すれば、できるようになります。

 

また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。

【高校数学】レベル別！おすすめの参考書を詳しく紹介

高校数学でおすすめの参考書、問題集をレベル別に応じて紹介します。どんな人にどの参考書がおすすめかまで解説しているので、自分にぴったりの参考書が見つかるはずです。数学力を伸ばしたい、数学を得点源にしたいと考えている方必見です。

math-ken.com

参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。

 

レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。

 

レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。

今回は以上です。