今回取り扱う問題は2021年京都大学の問題です。
線分の長さの最大値・最小値を考えさせられるような問題で、落ち着いて解けば確実に取れるような問題です。
数学が苦手な人も落とせないような基本的な問題なので、しっかり解けるようになっておきましょう。
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それではさっそくやっていきましょう。
問題文
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本問題を解く上での考え方・ポイント
まずは、問題文をグラフで表してみます。グラフは以下の通りです。
点$\, P\,$は曲線$\, y=\dfrac{1}{2}(x^2+1)\,$上の点なので、$P(t,\dfrac{1}{2}(t^2+1))\,$と表すことができます。
また、点$\, P\,$における接線の方程式も微分で簡単に求めることができます。
そこから、接線と$\, x\,$軸との交点を求めることで$\, PQ\,$の長さを文字で表すことができそうです。
ただし、このとき点$\, P\,$が$\, (0,\, 0)\,$のときは、そもそも接線が$\, x\,$軸と交わらないことだけ注意しておきましょう。
実際に線分$\, PQ\,$の長さを求めると、$\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(t^2+1)^3}{t^2}}\,$と表すことができます。
あとは、$t^2\,$を$\, s\,$とでも置けば、より簡単に微分してどこで最小値を取るかを求めることができます。
解答・解説
では、本問題のポイントが分かったところで解答です。
解答
$y’=x$
$P(t,\dfrac{1}{2}(t^2+1))\,$とおくと、$P\,$における接線の方程式は、
$y-\dfrac{1}{2}(t^2+1)=t(x-t)$
$\Leftrightarrow y=tx-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}$ $\cdots$①
点$\, Q\,$について考える。
$t=0\,$のとき、点$\, P\,$における接線は$\, y=\dfrac{1}{2}\,$であり、$x\,$軸と交わらないので不適。
①に$\, y=0\,$を代入すると、
$0=tx-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}(t-\dfrac{1}{t})$ $(\because \, t\neq 0)$
$\therefore \, L=PQ$
$=\sqrt{\{t-\dfrac{1}{2}(t-\dfrac{1}{t})\}^2+\{\dfrac{1}{2}(t^2+1)-0\}^2}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{4}(t+\dfrac{1}{t})^2+\dfrac{1}{4}(t^2+1)^2}$
$= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(t^2+1)^2}{t^2}+(t^2+1)^2}$
$= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(t^2+1)^2+t^2(t^2+1)^2}{t^2}}$
$= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(t^2+1)^3}{t^2}}$ $\cdots$②
$t^2=s\,$とおく。$(s>0)$
$f(s)=\dfrac{(s+1)^3}{s}\,$について考える。
$f'(s)=\dfrac{3(s+1)^2\cdot s-(s+1)^3}{s^2}$
$\qquad =\dfrac{(s+1)^2\{3s-(s+1)\}}{s^2}$
$\qquad = \dfrac{(s+1)^2(2s-1)}{s^2}$
$f'(s)=0\,$のとき、$s=\dfrac{1}{2}$
$\therefore \, s>0\,$においての増減表は下記。
$f(\frac{1}{2})=\dfrac{27}{4}$
$\therefore \,$②より求める$\, L\,$の最小値は
$\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2021年京都大学の微分の基本的な問題を解説しました。
自分で式を立てて、そこから最大値や最小値を考えさせられるような問題は、どの大学でもよく出るのでしっかりと解けるようになっておきましょう。
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