今回取り扱う問題は2018年立命館大学の問題です。
整数問題の多くは3つの考え方で解くことができます。
その中でも最も基本で頻出なのが、「積の形を作る」です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
さて、今回の問題は整数問題なわけですが、整数問題を解く上で、9割以上は下記の解き方で解くことができます。
②条件から範囲を絞る
③倍数や余りに注目する
解答・解説
解答
$\sqrt{n^2-8n+1}=k$ $\,(kは0以上の整数)$とおく。
$n^2-8n+1=k^2$
$\Leftrightarrow$ $(n-4)^2-16+1-k^2 = 0$
$\Leftrightarrow$ $(n-4)^2-k^2=15$
$\Leftrightarrow$ $(n-4+k)(n-4-k)=15$
$k\geqq 0$より，
$n-4+k\geqq n-4-k$
$\therefore \,$ $(n-4+k,\, n-4-k)=(15,1),\,(5,3),\,$ $(-3, -5),\,(-1,-15)$
$(2n-8,2k)=(16,14),\,(8,2),\,(-8,2),\,(-16,14)$
$\therefore \,$ $(n,k)=(12,7),\,(8,1),\,(0,1),\,(-4,7)$
$\therefore \,$求める答えは，$n$の個数は$4$個で，最大は$12$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2018年立命館大学の問題を解説しました。
整数問題は差がつきやすいので、しっかり取れるようになることで合格がぐっと近づきます。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。
今回は以上です。
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