今回取り扱う問題は2015年お茶の水女子大学の問題です。
記号が多くて、「なんだこれ」となって諦める人がおそらく多いような問題です。
ですが、きちんと式が何を表しているかを考えれば解ける問題です。
差がつくような問題なので、ぜひ取りたい問題でした。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
$$_{mn}C_n \geqq m^n > \sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$$
が成り立つことを示せ。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
記号が多く、ぱっと見た時に「なんだこれ？」と戸惑う方が多いと思います。
この式をじっと眺めていても証明することは難しいです。
記号が多いので、見慣れた形に変形してあげることで見えてきます。
$_{mn}C_n$ や $\sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$を見やすい形に変形します。
また、不等式を一気にこの不等式を証明するのはしんどいので、
$_{mn}C_n \geqq m^n$ と $ m^n > \sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$と分けて証明していきます。
解答・解説
解説
$_{mn}C_n$を変形して、ばらして記述してみると、
$_{mn}C_n = \frac{mn}{n}\cdot\frac{mn-1}{n-1}\cdots\frac{mn-k}{n-k}\cdots\frac{mn-(n-1)}{1}$
となります。
また、$m^n$をばらして記述してみると、
$m^n=m\cdot m \cdots m$
となります。
それぞれ掛け算の形になっているわけですが、それぞれの個数を見てみると$n$個の掛け算と同じです。
なので、$\frac{mn-k}{n-k}$が$m$より大きいことが言えれば、$_{mn}C_n$は$m^n$より大きいということが言えます。
また、$\sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$もばらして記述してみると、
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i = m^0 + m^1 + \cdots + m^{n-1}$
となるのですが、これは見てもらって分かる通り、「初項1,公比$m$,項数$n$の等比数列の和」です。
なので、等比数列の和の公式より、$\sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i = \frac{m^n -1}{m-1}$と計算できます。
初項$a$,公比$r$,項数$n$の等比数列の和を$S_n$とする。
①$r \neq 1$のとき、
$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}= \frac{a(r^n -1)}{r-1}$$
②$r = 1$のとき、
$$S_n = na $$
あとは、$\frac{m^n -1}{m-1}$と$m^n$だったら、引き算で計算できるので大小比較できそうです。
解答
$_{mn}C_n \geqq m^n$について考える。
$_{mn}C_n = \frac{mn}{n}\cdot\frac{mn-1}{n-1}\cdots\frac{mn-k}{n-k}\cdots\frac{mn-(n-1)}{1}$
$m^n=m\cdot m \cdots m$
である。
$k(kは1 \leqq k \leqq n-1の整数)$に対して、
$\frac{mn-k}{n-k}-m$$=\frac{mn-k-m(n-k)}{n-k}$
$=\frac{mk-k}{n-k}$
$=\frac{k(m-1)}{n-k} > 0$$(\because \,1\leqq k \leqq n-1,m\geqq 2)$
よって，$_{mn}C_n \geqq m^n$ $(等号成立はn=1のとき)$
$m^n > \sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$について考える。
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i = m^0 + m^1 + \cdots + m^{n-1}$
$\,\,\,\,\,\,\, = \frac{m^n -1}{m-1}$
$m^n – \frac{m^n -1}{m-1}$$=\frac{m^n(m-1)-m^n+1}{m-1}$
$=\frac{m^{n+1}-2\cdot m^n+1}{m-1}$
$=\frac{m^n(m-2)+1}{m-1} > 0$$(\because \, m\geqq 2)$
$\therefore \, m^n > \sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$が成り立つ。
以上より、$_{mn}C_n \geqq m^n > \sum\limits_{i=0}^{n-1}m^i$は示された。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。 今回は2015年お茶の水大学の問題を解説しました。
記号で表された数式がどのようなことを言っているのか、しっかり読み取れば満点を取れる問題でした。
入試本番で出ても、こういった問題は焦らず手を動かしてみて考えることが大事です。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
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今回は以上です。
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