今回取り扱う問題は2015年茨城大学の工学部で出題された問２の小問集合からの問題です。
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それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
$400$をまず$20^2$と見るのがポイントです。
そうすると、$21$から$20$を作りたいなと考えると思います。
では、$21$を$(20+1)$と見てみましょう。
そうすると、$21^{2015}=(20+1)^{2015}$となり、二項定理より展開することができます。
$(a+b)^n = _nC_0a^n b^0+_nC_1a^{n-1} b^1+\cdots + _nC_na^0 b^n$
$\Leftrightarrow$ $(a+b)^n =\sum\limits_{r=0}^n$ $_nC_ra^{n-r} b^r$
解答・解説
解答
$21^{2015}=(20+1)^{2015}$
$=(1+20)^2015$
$=_{2015}C_0 1^{2015}\cdot 20^0 + _{2015}C_1 1^{2014}\cdot 20^1+$ $_{2015}C_2 1^{2013}\cdot 20^2 + \cdots + _{2015}C_{2015} 1^{0}\cdot 20^{2015}$
$\equiv 1+2015\cdot 20(\bmod 400)$
$\equiv 1+15\cdot 20(\bmod 400)$
$\equiv 301(\bmod 400)$
よって、求める答えは$301$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2015年茨城大学の問題を解説しました。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
参考書はとにかく自分に合ったレベルのものを１冊やり切ることがとにかく重要です。
レベルに応じた参考書をやり切る→数学力が向上→レベルに応じた参考書をやり切る→・・・と取り組んでいくことで力がつきます。
レベル別におすすめの参考書をまとめているので、参考書・問題集選びの参考にしてもらえれば幸いです。
今回は以上です。
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