今回取り扱う問題は2014年早稲田大学の入試問題です。
ガウス記号は入試問題でもよく見かけます。しっかりと解けるようになっておきたい問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
$$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] =a$$
ただし、実数$\,x\,$に対して、$[x]\,$は$\,x\,$以下の最大の整数を表す。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
ガウス記号とはそもそも何なのか、簡単に解説します。
問題文にもある通り、ガウス記号は実数$\,x\,$に対して、$[x]\,$は$\,x\,$以下の最大の整数を表すものです。
式で表すと以下のものです。
$x-1 < [x] \leqq x$
本問題を以下の２通りで解いてみます。
(ⅱ)場合分け
解答・解説
それぞれの解法についての解答です。
解法１：不等式で$\, a\,$の範囲を考える
$\dfrac{a}{2}-1 < \left[ \dfrac{a}{2} \right] \leqq \dfrac{a}{2}$
$\dfrac{2a}{3}-1 < \left[ \dfrac{2a}{3} \right] \leqq \dfrac{2a}{3}\,$であるから、
$\left( \dfrac{a}{2}-1\right)+\left( \dfrac{2a}{3} -1\right) < $ $\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] \leqq$ $\dfrac{a}{2} + \dfrac{2a}{3}$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{7}{6}a -2<a\leqq \dfrac{7}{6}a$
$\Leftrightarrow$ $7a-12<6a\leqq 7a$
$\Leftrightarrow$ $0\leqq a < 12$
整数$\, a\,$について考える。
(ⅰ)$\, a=11\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right]$
$=\left[ \dfrac{11}{2}\right] + \left[ \dfrac{22}{3} \right]$
$=5+7$
$=12\neq 11$であるから不適。
(ⅱ)$\, a=10\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right]$
$=\left[ \dfrac{10}{2}\right] + \left[ \dfrac{20}{3} \right]$
$=11\neq 10 $であるから不適。
(ⅲ)$\, a=9\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right]$
$=\left[ \dfrac{9}{2}\right] + \left[ \dfrac{18}{3} \right]$
$=4+6$
$=10\neq 9 $であるから不適。
(ⅳ)$\, a=8\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right]$
$=\left[ \dfrac{8}{2}\right] + \left[ \dfrac{16}{3} \right]$
$=4+5$
$=9\neq 8 $であるから不適。
(ⅴ)$\, a=7\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right]$
$=\left[ \dfrac{7}{2}\right] + \left[ \dfrac{14}{3} \right]$
$=3+4$
$=7 $
$\therefore \,$求める最大の整数$\, a\,$は$7$
解法２：場合分け
以下、$n\,$は整数とする。
(ⅰ)$a=6n\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n\right] + \left[ 4n\right] = 6n$
$\Leftrightarrow 7n=6n$
$\Leftrightarrow n=0$ $\therefore \, a=0$
(ⅱ)$a=6n+1\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n + \dfrac{1}{2}\right] + \left[ 4n+\dfrac{2}{3}\right] = 6n+1$
$\Leftrightarrow 3n+4n=6n+1$
$\Leftrightarrow n=1$ $\therefore \, a=7$
(ⅲ)$a=6n+2\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n + 1\right] + \left[ 4n+\dfrac{4}{3}\right] = 6n+2$
$\Leftrightarrow 3n+1+4n+1=6n+2$
$\Leftrightarrow n=0$ $\therefore \, a=2$
(ⅳ)$a=6n+3\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n + \dfrac{3}{2}\right] + \left[ 4n+2\right] = 6n+3$
$\Leftrightarrow 3n+1+4n+2=6n+3$
$\Leftrightarrow n=0$ $\therefore \, a=3$
(ⅴ)$a=6n+4\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n + 2\right] + \left[ 4n+\dfrac{8}{3}\right] = 6n+4$
$\Leftrightarrow 3n+2+4n+2=6n+4$
$\Leftrightarrow n=0$ $\therefore \, a=4$
(ⅵ)$a=6n+5\,$のとき
$\left[ \dfrac{a}{2} \right] + \left[ \dfrac{2a}{3} \right] = a$
$\Leftrightarrow \left[ 3n + \dfrac{5}{2}\right] + \left[ 4n+\dfrac{10}{3}\right] = 6n+5$
$\Leftrightarrow 3n+2+4n+3=6n+5$
$\Leftrightarrow n=0$ $\therefore \, a=5$
(ⅰ)〜(ⅵ)より、求める最大の整数$\, a\,$は$7$
さいごに
いかがでしたでしょうか。 今回は2014年早稲田大学のガウス記号の問題を解説しました。
ガウス記号は、対策している人が少なく、意外と差がつきやすいです。ですが、定義に沿って不等式で考えていけば問題なく解けるので、しっかりと解けるようになっておきましょう。
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