今回取り扱う問題は2014年九州大学の問題です。
整数問題の難問です。無限降下法という方法を用いて解いていきます。
無限降下法は知っているか知っていないかで差が出ます。無限降下法とは何かについても解説するので、ぜひ最後までお読みください。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。 自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
今回、無限降下法を使って証明をしていきます。
「無限降下法」という言葉を知っている受験生は少ないと思います。まず、無限降下法とは何なのかについて解説していきます。
無限降下法とは
自然数の集合には必ず最小の元が存在することを利用。
それをどうやって利用するの？
と思われた方もいらっしゃるかもしれません。
解答・解説
解説
では、今回の問題どこから手をつけていこうとなるかもしれませんが、平方数の形を見たら、整数問題は$\bmod 3や\bmod 4$を疑ってみるといいです。
というのも、平方数の$\bmod 3や\bmod 4$は必ず$0または1$という重要な性質があります。
今回$3c^2$という形があるので、$\bmod 3$を考えてみましょう。
そして進めていくと、$a,\, b,\, c$ともに3の倍数であると分かります。
$a=3a_1,\, b=3b_1,\, c=3c_1$として、$a^2+b^2=3c^2$に代入すると，
$a_1^2+b_1^2=3c_1^2$となり、$a^2+b^2=3c^2$と全く同じ形が出てきます。
つまり、同じく$a_1,\, b_1,\, c_1$がともに3の倍数となり、この操作を無限に繰り返すことができてしまいます。
ですが、無限に3で割ることのできる自然数なんてものは存在せず、必ずどこかで最小の元の1にぶつかります。
ここまでの内容を踏まえながら、解答を書くと下記の通りです。
解答
$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\, b,\, c$が存在すると仮定する。
自然数$n$の2乗を3で割ったときの余りについて考える。以下、法を3として、
(ⅰ)$n\equiv 0$のとき、$n^2\equiv 0$
(ⅱ)$n\equiv 1$のとき、$n^2\equiv 1$
(ⅲ)$n\equiv 2$のとき、$n^2\equiv 4\equiv 1$
$a^2+b^2=3c^2$より、$a^2+b^2$は3の倍数。
$a^2+b^2$が3の倍数となるためには、(ⅰ)~(ⅲ)より$a^2\equiv 0,\, b^2\equiv 0$であり、$a\equiv 0,\, b\equiv0$となる。
$\therefore \,$ $a,\, b$は3の倍数。
$a=3a_1,\, b=3b_1$とすると，
$9a_1^2+9b_1^2=3c^2$
$\Leftrightarrow$ $c^2=3(a_1^2+b_1^2)$
$\therefore \,$ $c^2$は3の倍数であり、(ⅰ)~(ⅲ)より$c$も3の倍数。
$\therefore \,$ $a=3a_1,\, b=3b_1,\, c=3c_1$として，$a^2+b^2=3c^2$に代入すると，
$9a_1^2+9b_1^2=27c_1^2$
$\Leftrightarrow$ $a_1^2+b_1^2=3c_1^2$
この操作を繰り返すと、自然数$a_k,\, b_k,\, c_k$は無限に小さくすることができる。($k$は1以上の自然数)
これは$a_k,\, b_k,\, c_k$が自然数であることに矛盾。
よって，題意は示された。
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さいごに 整数問題は差がつきやすい！しっかりと対策しよう！
いかがでしたでしょうか。
今回は2014年九州大学の問題を解説しました。
整数問題は得意な人と苦手な人で差がつきやすい問題です。ですが、多くの整数問題はある程度パターン化されており、多くの問題を解くことで得意になります。
整数問題は難関大学が好んで出すので、難関大学や医学部志望の方はしっかりと対策しておくべきです。
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参考になれば幸いです。
今回は以上です。
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