今回取り扱う問題は2014年京都大学の理系で出題された整数問題です。
京大の整数問題は合同式を使って解くような問題が多く、その中でも法を$3$とする合同式($\bmod 3$)を考えさせられるような問題ばかりです。
今回の問題も$\bmod 3$を考えるのですが、結構難しいです。京大受験を考えている方、整数問題に強くなりたい人はぜひ最後までお読みください。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
$a,\,b$は$3$で割り切れないということなので、$3$で割ったときの余りで場合分けをして、$a^3+b^3$が$81$で割り切れるための条件を考えていきます。
$a^3+b^3$が$81$で割り切れるということは、因数$3$を$4$つ以上持つということです。
ということで、積の形で考えた方が良さそうなので、$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ と因数分解して、$(a+b)$と$(a^2-ab+b^2)$の因数をそれぞれ考えていきましょう。
解答・解説
では、今回の問題のポイントを抑えたところで、本問題の解答です。
解答
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ $\cdots$①
以下、法を3とする。
(ⅰ)$a \equiv 1,\, b \equiv 1$のとき
$a + b \equiv 2$
$a^2 -ab + b^2 \equiv 1$ であるから、
$a^3+b^3$は$3$で割り切れない。
(ⅱ)$a \equiv 1,\, b \equiv 2$のとき
$a + b \equiv 3 \equiv 0$
$a^2 -ab + b^2 \equiv 3 \equiv 0$ であるから、
$a^3+b^3$は$9$で割り切れる。
(ⅲ)$a \equiv 2,\, b \equiv 1$のとき
①は$a,\, b$において、対称性により、(ⅱ)と同様に考えられる。
$\therefore \,$ $a^3+b^3$は$9$で割り切れる。
(ⅳ)$a \equiv 2,\, b \equiv 2$のとき
$a + b \equiv 4 \equiv 1$
$a^2 -ab + b^2 \equiv 4 \equiv 1$ であるから、
$a^3+b^3$は$3$で割り切れない。
(ⅰ)〜(ⅳ)より、
$a \equiv 1,\, b \equiv 2$のときのみを考えればよい。$(\because \,$①は対称性より$)$
$a=3p+1,\,b=3q-1$ $(p,\,q$は整数$,\, p\geqq 0,\, q\geqq 1)$とおく。
このとき、
$a+b=3(p+q)$
$a^2-ab+b^2=(3p+1)^2-(3p+1)(3q-1)+(3q-1)^2$
$\qquad \qquad \quad = 9(p^2-pq+q^2+p-q)+3$
$\therefore \,$ $a^2-ab+b^2$は$3$で割り切れるが、$9$では割り切れない。
$\therefore \,$ $a^3+b^3$が$81$で割り切れるためには、$p+q$が$9$の倍数であることが必要である。
$\therefore \,$ このとき、$a+b$は$27$の倍数である。
$a,\, b$は自然数であり、そのとき$a^2,\, b^2$はそれぞれ単調増加である。今、$a^2+b^2$の最小を考えたいので、$a+b=27$
$b=27-a$であるから、これを$a^2+b^2$に代入すると、
$a^2+b^2$
$=a^2+(27-a)^2$
$=2a^2-54a+729$
$=2(a-\dfrac{27}{2})^2+\dfrac{729}{2}$
$a$は自然数より、$a=13,\, 14$のとき$a^2+b^2$は最小となる。
$a=13$のとき$b=14$、$a=14$のとき$b=13$であり、
$a^2+b^2=13^2+14^2=365$
$\therefore \,$ $(a,\, b)=(13,\, 14),\, (14,\, 13)$のとき、$a^2+b^2$は最小値$365$をとる。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は年大学の問題を解説しました。
$81$で割り切れるための必要十分条件は何なのかをきちんと考えさせられるような問題で、結構差がついた問題ではないかと思います。
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