今回取り扱う問題は2014年京都大学の問題です。
三角比と二次関数の融合問題ですが、比較的簡単なので絶対に落としたくないような問題でした。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
$x$についての4次方程式
$\{ x^2 – 2(\cos\theta)x – \cos\theta + 1\}$$\{x^2 + 2(\tan\theta )x+3\} =0 $
は虚数解を少なくとも1つ持つことを示せ。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
4次方程式の解のうち、少なくとも一つが虚数解ということですが、二次方程式の積の形になってるので、それぞれの2次方程式の判別式を考えれば良いです。
また、「少なくとも一つ虚数解を持つ」ことを言いたいので、「実数解しか持たない」と仮定して矛盾が出てくるかどうか、背理法で考えれば証明しやすそうなので背理法で証明していきます。
解答・解説
解説
背理法で「実数解しか持たない」と仮定するので、判別式$D$は$D \geqq 0$になることに注意して証明していきます。
解答
$\{ x^2 – 2(\cos\theta)x – \cos\theta + 1\}$$\{x^2 + 2(\tan\theta )x+3\} =0 \cdots (\ast )$として，
$(\ast )$が実数解しか持たないと仮定する。
$(\ast )$より，
$\left\{ \begin{array}{l} x^2 – 2(\cos\theta)x – \cos\theta + 1 = 0 \cdots ① \\ x^2 + 2(\tan\theta )x+3=0 \cdots ② \end{array} \right.$
が成り立つ。
①の判別式を$D_1$，②の判別式を$D_2$とすると，
$D_1 \geqq 0, D_2 \geqq 0$が，ともに成り立つ。
$\frac{D_1}{4}=\cos ^2\theta – (-\cos\theta +1)$
$\,\,\,\,\,\,\, =\cos ^2\theta + \cos \theta + 1 \geqq 0 \cdots ③$
$\frac{D_2}{4}=\tan ^2\theta – 3 \geqq 0 \cdots ④$
④より
$\tan ^2\theta \geqq 3$
$\Leftrightarrow \tan \theta \geqq \sqrt 3 (\because \,0 \leqq \theta < 90 ^\circ)$
$\therefore \,60 ^\circ \leqq \theta < 90 ^\circ$
$60 ^\circ \leqq \theta < 90 ^\circ$より，
$0 < \cos \theta \leqq \frac{1}{2}$
この範囲において，$\frac{D_1}{4}$の$\cos ^2\theta + \cos\theta -1$について考える。
$\frac{D_1}{4}=\cos ^2\theta + \cos\theta -1$
$\,\,\,\,\,\,\, =(\cos\theta + \frac{1}{2})^2 – \frac{5}{4}$
$\,\,\,\,\,\,\, \leqq (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}) – 1$
$\,\,\,\,\,\,\, =-\frac{1}{4}<0$
$\therefore \,$①が虚数解を持つので矛盾。
$\therefore \,(\ast )$は虚数解を少なくとも一つ持つ。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2014年京都大学の問題を解説しました。
高校1年生で習う内容で十分に解けるような基本的な問題でした。
受験生のなかで差が付きにくく、絶対に落としたくないような基礎的な問題でした。
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今回は以上です。
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