今回取り扱う問題は2013年一橋大学の後期で出題された問題です。
一橋大学は文系大学で基本的に数Ⅲの問題は出ませんが、後期試験では選択問題で数Ⅲの知識が必要となる問題が出題されることがあります。
（必ず解かなければいけない問題ではないです。）
大小比較の難問で、頻出なのでぜひ解けるようになっておきましょう。
一度解いておけば、他の似た問題も解けるようになり、入試で他の受験生と差をつけられるような問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
（指数の肩に乗っている数字を前に出せます。）
（底$\, e\,$は1より大きいので大小関係は変わりません。）
（これも正の値で割るので、大小関係は変わりません。）
解答・解説
では、本問題のポイントが分かったところで解答です。
解答
$f(x)=\dfrac{\log x}{x}\,$とおく。$(x>0)$
$f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot\log x}{x^2}$
$\qquad = \dfrac{1-\log x}{x^2}$
$f'(x)=0\,$のとき、$x=e$
$\therefore \,$ 増減表は下記の通り。
$\therefore \,$ $\pi > e\,$より、$f(e)>f(\pi )$
$\therefore \,$ $\dfrac{\log e}{e} > \dfrac{\log \pi}{\pi}$
$\Leftrightarrow$ $\pi \log e>e\log \pi$
$\Leftrightarrow$ $\log e^\pi > \log \pi ^e$
$\Leftrightarrow$ $e^\pi > \pi ^e$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2013年一橋大学の微分を用いる大小比較の問題を解説しました。
両辺自然対数を取るという発想まではできても、意外と$\,e\pi\,$で割れば同じ形が出てくれるというのに気付くのが難しいのかなと思います。
$a^b,\, b^a\,$という2つの大小関係を考える問題は頻出で、解法は同じなのでぜひとも解けるようになっておきましょう。
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