今回取り扱う問題は2012年大阪大学の前期で出題された問題です。
点が動く問題は苦手とする人が多く、差がつきます。今回の問題は2点が動くときの最小値を考えさせられるような問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
$a>0$とする。$C_1$を曲線$x^2+\dfrac{y^2}{a^2}=1,\,$ $C_2$を直線$y=2ax-3a$とする。このとき,以下の問いに答えよ。
(1)点$P$が$C_1$上を動き,点$Q$が$C_2$上を動くとき,線分$PQ$の長さの最小値を$f(a)$とする。$f(a)$を$a$を用いて表せ。
(2)極限値$\displaystyle\lim_{a\to \infty}f(a)$を求めよ。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
(2)は(1)が解ければ、おまけのような問題です。
今回差がつく問題は(1)です。
まず、文では考えにくいので、曲線$C_1$と直線$C_2$を図で表すと以下のようになります。
点$P$が楕円上のどこかにあり、点$Q$が直線上のどこかにあり、その線分$PQ$の長さが最小となるようなときを考えていきたいです。
2点動くとややこしいので、点$P$を楕円上のどこかに固定して考えてみます。下図のような場所に点$P$があると考えたとき、線分$PQ$の長さが最小となるようなときというのは、直線$C_2$に垂線を下したときの交わる点が点$Q$であれば良いことが分かります。
点$P$は楕円上の点なので、$(\cos\theta ,\,a\sin\theta)\,(0\leqq\theta < 2\pi)$と表すことができます。
あとは、その点$P$と直線$C_2$の長さを文字で表してから、その長さの最小値を考えていけば良さそうです。
解答・解説
(1)の解答
線分$PQ$の長さが最小となるのは、点$P$から直線$C_2$に垂線を下したとき。
点$P$は楕円$C_1$上の点であるから、$(\cos\theta ,\,a\sin\theta)\,(0\leqq\theta < 2\pi)$と表せる。
$PQ$の長さを$F(a)$とすると、
$F(a)=\dfrac{|2a\cos\theta -a\sin\theta -3a|}{\sqrt{4a^2+1}}$
$\qquad =\dfrac{a}{\sqrt{4a^2+1}}|2\cos\theta -\sin\theta -3|$ $(\because \,$点と直線の距離の公式より$)$
ここで$|2\cos\theta -\sin\theta -3|$について考える。
$|2\cos\theta -\sin\theta -3|$
$=|\sqrt{5}\cos (\theta + \alpha )-3|$ $($ただし,$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}},\,\sin\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}})$
$-1\leqq \cos (\theta + \alpha )\leqq 1$であるから、
$-\sqrt{5}-3\leqq \sqrt{5}\cos (\theta + \alpha)-3\leqq\sqrt{5}-3$
$\therefore \,$ $|2\cos\theta -\sin\theta -3|$の最小値は$3-\sqrt{5}$
$\therefore \,$ $f(a)=\dfrac{a(3-\sqrt{5})}{\sqrt{4a^2+1}}$
(2)の解答
$f(a)=\dfrac{a(3-\sqrt{5})}{\sqrt{4a^2+1}}$
$\displaystyle\lim_{a\to \infty}f(a)$
$=\displaystyle\lim_{a\to \infty}\dfrac{(3-\sqrt{5})}{\sqrt{4+\frac{1}{a^2}}}$
$=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2012年大阪大学の問題を解説しました。
点が動く問題は差がつくので、しっかり取れるようになっておくことで合格がぐっと近づきます。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
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今回は以上です。
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