今回取り扱う問題は2006年大阪大学の問題です。
対数の値を評価するような問題です。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
(1)自然数$\,m,n\,$を求めよ。
(2)不等式$\,a>\frac{2}{3}\,$が成り立つことを示せ。
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
対数の値を評価するような問題です。
与えられた式からまずどのようなことが言えるか考えてみます。
$n\,$は自然数、実数$\,a\,$は$\,0<a<1\,$であるので、$n+a>1\,$となります。
ですので、$0<\frac{1}{n+a}<1$と分かります。
つまり、$\,\log_2 6 = m + \frac{1}{n+a}\,$における$\,m\,$は$\log_2 6$の整数部分、$\frac{1}{n+a}\,$は$\log_2 6$の小数部分と分かります。
このことから計算していくと、$m=2,\frac{1}{n+a}=\log_2 3 -1$と分かります。
$p<q\log_2 3<r\,$と$\,\log_2 3\,$の値を評価することができます。
解答・解説
解説
上記で解説した通り、$2^p<3^q<2^r$の不等式を考えていきます。
$2$のべき乗と$3$のべき乗で値が近いものを探します。
$2^3<3^2$と、$3^3<2^5$を今回は考えていこうと思います。
（↑これで求まらなければ、もっと厳しい評価が必要になります。）
(2)については、$m,n$の値が求まっているので、直接$a$と$\frac{2}{3}$を比較します。
$a-\frac{2}{3}$を計算して、$0$より大きければ$a>\frac{2}{3}$ですね。
（１）の解答
$\,\log_2 6 = m + \frac{1}{n+a}\,\cdots (＊)$とおく。
$0<\frac{1}{n+a}<1$であるから、$m\,$は$\log_2 6$の整数部分、$\frac{1}{n+a}\,$は$\log_2 6$の小数部分である。
$\log_2 4<\log_2 6<\log_2 8$
$2<\log_2 6<3$であるから、$m=2$
(＊)に$\,m=2\,$を代入すると、
$\log_2 6 = 2 + \frac{1}{n+a}$
$\therefore \,\frac{1}{n+a} = \log_2 6 -2$
$= \log_2 2\cdot 3 -2$
$= \log_2 2 + \log_2 3 -2$
$=\log_2 3 -1$
ここで、$\log_2 3$について考える。
$2^3<3^2$より、
$3<2\log_2 3$
$\frac{3}{2}<\log_2 3$
$3^3<2^5$より、
$3\log_2 3<5$
$\log_2 3<\frac{5}{3}$
$\therefore \, \frac{3}{2}<\log_2 3 < \frac{5}{3}$
$\frac{1}{2}<\log_2 3 -1<\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}<\frac{1}{n+a}<\frac{2}{3}$
$\frac{3}{2}<n+a<2$
$n\,$は自然数、$0<a<1$より、$n=1$
$\therefore \,(m,\, n)=(2,\, 1)$
（２）の解答
(1)より、
$\frac{1}{1+a}=\log_2 3-1$
$\Leftrightarrow a+1=\frac{1}{\log_2 3 -1}$
$\Leftrightarrow a=\frac{1}{\log_2 3-1}-1$
$a-\frac{2}{3}=\frac{1}{\log_2 3-1}-\frac{5}{3}$
$=\frac{3-5(\log_2 3 -1)}{3(\log_2 3 -1)}$
$=\frac{8-5\log_2 3}{3(\log_2 3 -1)}$
$\frac{8-5\log_2 3}{3(\log_2 3 -1)}$の分母、分子についてそれぞれ考える。
$8-5\log_2 3=\log_2 2^8-\log_2 3^5$
$=\log_2 256 – \log_2 243$
$>0$
$\log_2 3 -1=\log_2 3 -\log_2 2 >0$
$\therefore \,\frac{8-5\log_2 3}{3(\log_2 3 -1)}>0$
よって、$a>\frac{2}{3}$は示された。
（２）の別解について
(1)で$2^3<3^2$と、$3^3<2^5$を考えていましたが、
この際により厳しい値で評価していれば、(2)は実は一瞬で証明することができていました。
$2^3<3^2$と、$3^5<2^8$で考えてみます。
$2^3<3^2$より、
$3<2\log_2 3$
$\frac{3}{2}<\log_2 3$
$3^5<2^8$より、
$5\log_2 3<8$
$\log_2 3<\frac{8}{5}$
$\therefore \,\frac{3}{2}<\log_2 3<\frac{8}{5}$
$\therefore \, \frac{3}{2}<\log_2 3 < \frac{8}{5}$
$\frac{1}{2}<\log_2 3 -1<\frac{3}{5}$
$\frac{1}{2}<\frac{1}{n+a}<\frac{3}{5}$
$\frac{5}{3}<n+a<2$
$n\,$は自然数、$0<a<1$より、$n=1$
$\therefore \,\frac{5}{3}<1+a<2$
$\frac{2}{3}<a<1$
というように、(1)で$\,m,n\,$の値を求めたら、そのまま$a>\frac{2}{3}$が実は言えてしまいました。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2006年大阪大学の問題を解説しました。
$log$の値を自分で不等式評価するような問題は頻出です。これを機に解けるようになってもらえると嬉しいです。
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今回は以上です。
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