今回取り扱う問題は2003年京都大学の理系の問題です。
$x^2+x+1$を見た瞬間に、「あれを使うんだな」と反応できるかどうかがポイントとなってくるような問題でした。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
これから先は解説になります。
自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
まず、$x^2+x+1$という式を見て、反応できるかがポイントです。
$x^2+x+1$を見た瞬間に、「1の3乗根の$\omega$を使うんだろうな」と気付けるかがポイントでした。
$\omega$についての復習
問題の解説に入る前に、簡単に$\omega$について復習しておきます。
$\omega$とは・・・1の3乗根のうち虚数のものを$\omega$で表す（ことが多い）
3乗して1になるものを考えるので，
$x^3=1$を解いたものの一つの解が$\omega$ということです。
$x^3=1$
$\Leftrightarrow x^3-1=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0$
$x^2+x+1=0$を解くと、$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
この一つを、$\omega$と一般的には表します。
そして、$\omega$には重要な性質が主に4つあります。
$\omega = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とすると、もう一つの解を$\bar{\omega} = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$と表すことができ、重要な性質が以下の4つです。
②$\omega ^2 + \omega + 1 = \bar{\omega}^2 + \bar{\omega} + 1 = 0$
③$\omega ^2 = \bar{\omega}$
④$\omega \cdot \bar{\omega} = 1$
本問題の方針
さて、$\omega$についての性質を解説したところで、本問題の方針について考えていきます。
$x^2 + x + 1$で割り切れるということは、$x^2 + x + 1$を因数に持つということです。
また、$x^2 + x + 1=0$の解が$x=\omega , \bar{\omega}(\omega ^2)$ということなので、因数定理より$x^2 + x + 1=(x-\omega)(x-\bar{\omega})\, ($または$(x-\omega)(x-\omega ^2))$と表すことができます。
以上のことから以下のことが言えます。
$\Leftrightarrow f(\omega)=f(\bar{\omega})\, ($または$f(\omega ^2))=0$
解答・解説
解説
多項式$(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$を$f(x)$とでも置いて、$f(\omega)$と$f(\bar{\omega})$を計算して、0になるか確認しましょう。
また、いきなり$\omega$を使うわけにはいかないので、自分で$\omega$についての性質を記述してから$\omega$を使用していきます。
解答
$f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$とおく。
方程式$x^2+x+1=0$を解くと
$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$
$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ $,$ $\bar{\omega} = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$とする。
$x^2+x+1=0$の解が$x=\omega , \bar{\omega}$なので，
$\omega ^2 + \omega + 1 = \bar{\omega}^2 + \bar{\omega} + 1 = 0 \cdots ①$
また、$(\omega -1)(\omega ^2 + \omega + 1)=\omega ^3 -1=0$
$(\bar{\omega} -1)(\bar{\omega} ^2 + \bar{\omega} + 1)=\bar{\omega} ^3 -1=0$より、
$\omega ^3 = \bar{\omega} ^3 = 1 \cdots ②$
$f(\omega)=(\omega ^{100} + 1)^{100}+(\omega ^2 + 1)^{100} + 1$
$=(\omega + 1)^{100} + (-\omega)^{100} + 1(\because \,$①，②より$)$
$=(-\omega ^2)^{100} + (-\omega)^{100} + 1(\because \,$①より$)$
$=\omega ^{200} + \omega ^{100} + 1$
$=\omega ^{198} \cdot \omega ^2 + \omega ^{99} \cdot \omega + 1$
$=\omega ^2 + \omega + 1(\because \,$②より$)$
$=0(\because \,$①より$)$
$f(\omega)$も同様に計算すると、$f(\bar{\omega} ) = 0$となる。
$\therefore \,$ $f(x)$は、$x-\omega,\, x-\bar{\omega}$を因数に持つ。
$x^2+x+1=(x-\omega)(x-\bar{\omega} )$であるから、
$f(x)$は$x^2+x+1$で割り切れる。
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さいごに
いかがでしたでしょうか。
今回は2003年京都大学の問題を解説しました。
$\omega$を扱う問題は、あまり出ないですが、出たら絶対に落としたくないような問題です。
ぜひ取れるようになってもらえると嬉しいです。
また、数学の成績を伸ばしたいと考えている方向けにおすすめの数学の参考書を下記でまとめています。
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今回は以上です。
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