今回取り扱う問題は1989年京都大学の問題です。
問題文を式で表すことができれば、あとは微分の基礎的な問題です。絶対に取りたいような問題でした。
それではさっそくやっていきましょう。
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問題文
このとき、この箱の容積を$Vcm^3$とする。$V$が最大となる$x$の値を求めよ。
これから先は解説になります。 自力で解いてみたい方は、ここでいったんストップして挑戦してみてください。
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本問題を解く上での考え方・ポイント
問題文を式に表すことができれば、あとは微分して最大値を求めていけばよいです。直方体の体積$V$を$x$を用いて表していきます。
注意としては、定義域をきちんと考えることを忘れてはいけません。
解答・解説
解答
容器を作るためには、$x>0$ かつ $25-2x>0$である必要がある。
$\therefore \,$ $0<x<\frac{25}{2}$
容器の体積$V$について考える。
$V=(25-2x)(40-2x)\cdot x$
$=x(4x^2-130x+1000)$
$=4x^3-130x^2+1000x$
$f(x)=4x^3-130x^2+1000x$とおく。
$f'(x)=12x^2-260x+1000$
$=4(3x^2-65x+250)$
$=4(x-5)(3x-50)$
$f'(x)=0$のとき，$x=5$ $(\because \, 0<x<\frac{25}{2})$
$\therefore \,$増減表は下記の通り。
よって、$V$が最大となる$x$は$x=5$のとき。
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さいごに 数学の成績を伸ばすには自分に合った参考書が大事
いかがでしたでしょうか。
今回は1989年京都大学の後期第一問問題を解説しました。
数Ⅱの微分の基本的な内容なので満点を確実に取りたい問題でした。問題文をきちんと文字で置ければ、なんてことない問題です。
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今回は以上です。
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